Скажите, на бесплатном хостинге нельзя ли случайно запускать демоны (соединения, использующие сокеты)

нет. из соображений безопасности.
ибо сразу найдется много людей кто будет там "херней" страдать, грузить сервер, ддосы делать и прочее.

Есть платный хостинг, Есть ВПСы, там все можно.

А на платном виртуальном хостинге? Или только на впс?